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Notion de fonction
Déterminer une image par le calcul
Il suffit de remplacer $x$ puis de calculer
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  • Déterminer une image par le calcul
    • I. Méthode
    • II. Exemples
      • A. Avec une variablé notée $x$
        • 1. Calcul de $f(-4)$
        • 2. Calcul de $f(0)$
        • 3. Calcul de $f\left(\frac{1}{2}\right)$
      • B. Avec une variable notée $t$
        • 1. Calcul de $g(2+\sqrt{2})$
    • III. Exercice
      • A. Calculer l'image d'un entier
      • B. Calculer l'image d'une fraction
      • C. Calculer l'image d'une expression
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I.  Méthode
  • Pour déterminer l'image d'un nombre $a$ par $f$ (c'est à dire calculer $f(a)$), il suffit de :
  • Remplacer la variable (souvent $x$) par $a$ dans l'expression de $f$
  • Faire le calcul
II.  Exemples
A.  Avec une variablé notée $x$
  • Soit $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(\htmlClass{ta}{x})=10\htmlClass{ta}{x}+2$.
  • On souhaite déterminer les images de $\htmlClass{ta}{-4}$, $\htmlClass{ta}{0}$ et $\htmlClass{ta}{\dfrac{1}{2}}$.
1.  Calcul de $f(-4)$
L'expression de $f(\htmlClass{ta}{x})$ est donnée par : $$f(\htmlClass{ta}{x})=10\htmlClass{ta}{x}+2$$
On remplace $\htmlClass{ta}{x}$ par $\htmlClass{ta}{-4}$ : $$f(\htmlClass{ta}{-4})=10 \times (\htmlClass{ta}{-4}) +2$$
Ensuite, on mène le calcule : $$\begin{align*} f(\htmlClass{ta}{-4})&=10 \times (\htmlClass{ta}{-4}) +2 \\ f(\htmlClass{ta}{-4})&=-40 +2 \\ f(\htmlClass{ta}{-4})&=-38 \\ \end{align*}$$
Donc l'image par $f$ de $-4$ est $-38$. On note $f(-4)=-38$.
2.  Calcul de $f(0)$
On remplace $\htmlClass{ta}{x}$ par $\htmlClass{ta}{0}$ : $$\begin{align*} f(\htmlClass{ta}{0})&=10 \times (\htmlClass{ta}{0}) +2 \\ f(\htmlClass{ta}{0})&=2 \\ \end{align*}$$
Donc $f(0)=2$.
3.  Calcul de $f\left(\frac{1}{2}\right)$
On remplace $\htmlClass{ta}{x}$ par $f\left(\htmlClass{ta}{\dfrac{1}{2}}\right)$ : $$\begin{align*} f\left(\htmlClass{ta}{\dfrac{1}{2}} \right)&=10 \times \htmlClass{ta}{\dfrac{1}{2}} +2 \\ &=5+2 \\ &=7 \\ \end{align*}$$
Donc $f\left(\dfrac{1}{2} \right)=7$.
B.  Avec une variable notée $t$
  • Soit $g$ définie sur $\mathbb{R}$ par $g(\htmlClass{tp}{t})=-\dfrac{1}{2}\htmlClass{tp}{t}^2$.
  • On souhaite déterminer l'image de $\htmlClass{tp}{2+\sqrt{2}}$.
1.  Calcul de $g(2+\sqrt{2})$
Cette fois-ci, on remplace $\htmlClass{tp}{t}$ par $\htmlClass{tp}{2+\sqrt{2}}$ :
$$\begin{align*} g(\htmlClass{tp}{2+\sqrt{2}})&= -\dfrac{1}{2} \times (\htmlClass{tp}{2+\sqrt{2}})^2\\ &= -\dfrac{1}{2} \times (4+2+4\sqrt{2})\\ &= -\dfrac{1}{2} \times (6+4\sqrt{2})\\ &= -3 - 2\sqrt{2}\\ \end{align*}$$
Donc $g(2+\sqrt{2})=-3 - 2\sqrt{2}$.
III.  Exercice
  • Soient $f$, $g$ et $h$ définies sur $\mathbb{R}$ par : $$\begin{align*} f(x)&=3x+3 \\ g(x)&=x^2-2x+3 \\ h(x)&=\dfrac{x+3}{x+1} \\ \end{align*}$$
A.  Calculer l'image d'un entier
1
📝
Calcule $f(2)$.
f(2)=
🌽=
2
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Calcule $f(10)$.
f(10)=
🌺=
3
📝
Calcule $f(-8)$.
f(-8)=
🍍=
4
📝
Calcule $g(2)$.
g(2)=
🍕=
5
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Calcule $g(10)$.
g(10)=
🍀=
6
📝
Calcule $g(-8)$.
g(-8)=
🌈=
7
📝
Calcule $h(2)$.
h(2)=
🍒=
🍏=
8
📝
Calcule $h(10)$.
h(10)=
🌽=
🍎=
9
📝
Calcule $h(-8)$.
h(-8)=
🍋=
🍍=
B.  Calculer l'image d'une fraction
10
📝
Calcule $f\left(\dfrac{1}{2}\right)$.
f\left(\dfrac{1}{2}\right)=
🍓=
🦋=
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📝
Calcule $f\left(-\dfrac{1}{3}\right)$.
f\left(-\dfrac{1}{3}\right)=
🍍=
12
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Calcule $g\left(\dfrac{1}{4}\right)$.
g\left(\dfrac{1}{4}\right)=
🍒=
🍍=
13
📝
Calcule $g\left(-\dfrac{2}{3}\right)$.
g\left(-\dfrac{2}{3}\right)=
🌈=
🍄=
14
📝
Calcule $h\left(\dfrac{2}{3}\right)$.
h\left(\dfrac{2}{3}\right)=
🌵=
🕊=
15
📝
Calcule $h\left(-\dfrac{1}{4}\right)$.
h\left(-\dfrac{1}{4}\right)=
🍊=
🍒=
C.  Calculer l'image d'une expression
16
📝
Calcule $f\left(1 + \sqrt{2}\right)$.
f\left(1 + \sqrt{2}\right)=
🍏=
🥦=
🍎=
17
📝
Soit $a$ un réel. Calcule $f(a^2 + 1)$.
f(a^2 + 1)=
🍐=
🍎=
🎉=
🍏=
18
📝
Soit $b$ un réel. Calcule $g(b+2)$.
g\left(b+2\right)=
🐬=
🍎=
🍐=
🦄=
🦕=
19
📝
Soit $a$ un réel non nul. Calcule $h\left(\dfrac{1}{a}\right)$.
h\left(\frac{1}{a}\right)=
🥑=
🥦=
🌟=
🦋=
🔥=
20
📝
Soit $a$ un réel non nul. Calcule $h\left(\dfrac{1}{a^2+1}\right)$.
h\left(\frac{1}{a^2+1}\right)=
🥑=
🌺=
🦕=
🌈=
🦖=
🍓=
🍀=