Déterminer un ensemble de définition

I. Méthode

A. Approche graphique

1. Cas particulier : deux bornes finies

Les absisses minimales et maximales des points de la courbe $\htmlClass{te}{C_f}$ sont $\htmlClass{tp}{-2}$ et $\htmlClass{tp}{3}$ donc la fonction $\htmlClass{te}{f}$ est définie sur $\htmlClass{tp}{[-2; 3]}$.
On note : $\htmlClass{te}{D_f} = \htmlClass{tp}{[-2; 3]}$.

2. Cas particulier : une ou les deux borne(s) infinie(s)

Ici, on peut supposer que la fonction est définie sur $\htmlClass{te}{D_f} = \htmlClass{tp}{]-\infty; 3]}$. En effet, le point indique que l'on garde la dernière valeur $3$ dans l'intervalle. La courbe semble ne jamais s'arrêter à gauche, donc on considère qu'elle commence en $-\infty$ (mais attention c'est un peu ambigu, et on préfera une information écrite dans l'énoncé).

Ici, on peut supposer que la fonction est définie sur $\htmlClass{te}{D_f} = \htmlClass{tp}{]-\infty; +\infty[}$ (mais attention c'est un peu ambigu, et on préfera une information écrite dans l'énoncé).

B. Détermination par le calcul

Pour une fonction $f$, déterminer son ensemble de définition $D_f$ revient en fait à déterminer les valeurs pour lesquelles le calcul de $f(x)$ est mathématiquement possible :
On ne peut pas diviser par $0$, et donc on ne doit pas avoir un dénominateur nul
On ne peut pas calculer la racine d'un nombre strictement négatif

On en déduit que si $k(x)$ est une quantité qui dépend de $x$, alors :
Si on calcule $\dfrac{1}{k(x)}$, nécessairement, $k(x) \neq 0$
Si on calcule $\sqrt{k(x)}$, nécessairement, $k(x) \geq 0$
Si on calcule $\dfrac{1}{\sqrt{k(x)}}$, nécessairement, $k(x) \gt 0$ (car on combine les deux règles ci-dessus : $k(x)$ doit être non nul et positif donc strictement positif)

II. Exemples

A. $f(x) = \frac{1}{x+5}$

On ne doit pas avoir un dénominateur nul, donc on ne doit pas avoir : $$x+5 = 0$$

$$x=-5$$

Donc la seule valeur interdite est $-5$ et : $$D_f=\mathbb{R} \diagdown \{-5\}$$

Que l'on peut aussi écrire : $$D_f = ]-\infty; -5[ \cup ]-5; +\infty[$$

B. $g(x) = \frac{2x+1}{(x+1)(3x+7)}$

Le numérateur n'a pas d'impact sur la détermination de l'ensemble de définition.

On ne doit pas avoir un dénominateur nul, donc on ne doit pas avoir : $$(x+1)(3x+7)= 0$$

La résolution de cette équation produit nulle donne : $$x=-1 \text{ ou } x=-\dfrac{7}{3}$$

Donc : $$D_g=\mathbb{R} \diagdown \{-\dfrac{7}{3};-1\}$$

Que l'on peut aussi écrire : $$D_g = ] -\infty; -\dfrac{7}{3}[ \cup ]-\dfrac{7}{3}; -1[ \cup ]-1;+\infty[$$

C. $h(x) = \sqrt{2x+1}$

On ne doit pas calculer la racine d'un nombre strictement négatif, donc, on doit avoir : $$2x+1 \geq 0 $$

Ce qui implique : $$x \geq -\dfrac{1}{2}$$

Donc $D_h=[-\dfrac{1}{2};+\infty[$.

D. $i(x) = \frac{\sqrt{3x-1}}{x^2\sqrt{-2x+3}}$

1. Concernant le numérateur $\sqrt{3x-1}$:

On ne doit pas calculer la racine d'un nombre strictement négatif, donc, on doit avoir : $$3x-1\geq 0 $$

Ce qui implique : $$x \geq \dfrac{1}{3}$$

Que l'on peut écrire : $$x \in [\dfrac{1}{3};+\infty[$$

2. Concernant le dénominateur $x^2\sqrt{-2x+3}$:

Pour ne pas diviser par $0$, on doit avoir : $$x^2\sqrt{-2x+3} \neq 0$$

C'est un produit de deux termes : $x^2$ et $\sqrt{-2x+3}$

$x^2 \neq 0 \rArr x \neq 0$, que l'on peut écrire : $$x \in ] -\infty; 0[ \cup ]0; +\infty[$$

$\sqrt{-2x+3} \neq 0 \rArr -2x+3 \gt 0$ car la racine doit être non nulle (car au dénominateur) et ce qui est dedans positif (car pas définie sur les nombres strictement négatifs).

Donc $$x \lt \dfrac{3}{2}$$

Que l'on peut écrire : $$x \in ]-\infty;\dfrac{3}{2}[$$

Finalement : $$x \in (] -\infty; 0[ \cup ]0; +\infty[) \cap ]-\infty;\dfrac{3}{2}[$$

3. On doit satisfaire ces conditions simultanément :

$$\begin{align*} \sqrt{3x-1} \geq 0 \rArr & x \in \htmlClass{ta}{[\dfrac{1}{3};+\infty[} \\ x^2 > 0 \rArr & x \in \htmlClass{ts}{] -\infty; 0[ \cup ]0; +\infty[} \\ \sqrt{-2x+3} \neq 0 \rArr & x \in \htmlClass{tv}{]-\infty;\dfrac{3}{2}[} \end{align*}$$

Donc on calcule une intersection : $$ x \in \htmlClass{ta}{[\dfrac{1}{3};+\infty[} \cap (\htmlClass{ts}{] -\infty; 0[ \cup ]0; +\infty[}) \cap \htmlClass{tv}{]-\infty;\dfrac{3}{2}[} $$

Soit : $$ \htmlClass{tp}{D_i = [\dfrac{1}{3};\dfrac{3}{2}[} $$

On a représenté la courbe $\htmlClass{te}{C_i}$ de $\htmlClass{te}{i}$ pour vérifier si notre détermination par le calcul est cohérente avec la représentation graphique de la fonction.
Pour calculer l'intersection, il vaut trouver l'intervalle qui contient tous les points qui sont présents dans les trois intervalles.
Avec les pointillés , on reconnait bien l'intervalle $\htmlClass{tp}{D_i = [\dfrac{1}{3};\dfrac{3}{2}[}$.

III. Exercice

Pour chacune des fonctions ci-dessous, déterminer par le calcul son ensemble de définition et donne une réponse sous la forme d'un intervalle.

1

📝

$f(x)=x$

2

📝

$g(x)=x^2$

3

📝

$h(x)=\dfrac{1}{x}$

4

📝

$i(x)=\dfrac{4x+3}{6x+1}$

5

📝

$j(x)=\dfrac{4x+3}{6x^2+1}$

6

📝

$k(x)=\sqrt{x}$

7

📝

$l(x)=\sqrt{x - 3}$

8

📝

$m(x)=\sqrt{x^2 - 3}$

9

📝

$n(x)=\sqrt{-x + \dfrac{1}{2}}$

10

📝

$o(x)=\dfrac{2x}{x\sqrt{-x + \dfrac{1}{2}}}$

11

📝

$p(x)=\dfrac{\sqrt{x-\dfrac{1}{4}}}{x\sqrt{-x + \dfrac{1}{2}}}$

12

📝

$q(x)=\dfrac{1}{x^3-1}$

13

📝

$r(x)=\dfrac{1}{\sqrt{x^3-1}}$

14

📝

$s(x)=\dfrac{3x+1}{(x-4)\sqrt{x^3-1}}$

15

📝

$t(x)=\dfrac{x+10}{(x-2)(x-4)\sqrt{x-1}}$