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3^ème : Révisions Brevet de Maths

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Fractions et nombres rationnels

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📘 Questions de cours

Soient $p$ et $q$ deux entiers, avec $q$ non nul.

La fraction $\dfrac{p}{q}$ est irréductible si :

Soient $a$, $b$ et $c$ trois entiers, avec $a$ et $c$ tous les deux non nuls.
Simplifie la fraction $\dfrac{ab}{ac}$.

🧮 Automatismes

Calcule cette somme :

Calcule cette différence :

Calcule ce produit :

Calcule ce quotient :

Donne l'inverse de $\dfrac{2}{7}$.

Calcule cette somme :

On considère les nombres : $$\dfrac{11}{3} ; \dfrac{21}{5}$$

Quel nombre est le plus grand ?

Quel est l'encadrement à $10^{-3}$ près du nombre $2,13276$ ?

📐 Pour les deux questions suivantes, on introduit la figure ci-dessous.

On a placé sur la droite graduée ci-dessus les points $\htmlClass{ti}{A}$ et $\htmlClass{te}{B}$ d'abscisses respectives $\htmlClass{ti}{a}$ et $\htmlClass{te}{b}$. Quelle est la valeur de $a$ ?

Quelle est la valeur de $b$ ?

Quel ordre est correct ?

Quelle égalité est correcte ?

🚀 Méthode

Comment simplifier une fraction ?

💡On rappelle que simplifier une fraction veut dire l'écrire sous sa forme irréductible.

Une fraction $\dfrac{a}{b}$ est dite irréductible lorsque $a$ et $b$ sont premiers entre eux, c'est-à-dire que leur PGCD vaut 1.

Pour simplifier une fraction, on peut utiliser deux méthodes principales :
• A : la décomposition en facteurs premiers
• B : le calcul du PGCD (Plus Grand Commun Diviseur)

💜 Liste des 10 premiers facteurs premiers :
$$2 \, ; \, 3 \, ; \, 5 \, ; \, 7 \, ; \, 11 \, ; \, 13 \, ; \, 17 \, ; \, 19 \, ; \, 23 \, ; \, 29 \, ; \, ...$$

A : Décomposition en facteurs premiers
1️⃣ Décomposer $a$ et $b$ en produit de facteurs premiers
2️⃣ Simplifier en "barrant" les facteurs communs
3️⃣ On conserve les facteurs non communs

Pour simplifier $\dfrac{72}{60}$ :
1️⃣ Décomposition de 72 :
$72 = 2 \times 36 = 2 \times 2 \times 18 = 2 \times 2 \times 2 \times 9$
Donc $72 = 2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 3 = 2^3 \times 3^2$
1️⃣ Décomposition de 60 :
$60 = 2 \times 30 = 2 \times 2 \times 15 = 2 \times 2 \times 3 \times 5 = 2^2 \times 3 \times 5$
2️⃣ On simplifie les facteurs communs :

$\dfrac{2^3 \times 3^2}{2^2 \times 3 \times 5} = \dfrac{{\cancel{2^2}} \times 2 \times 3^2}{{\cancel{2^2}} \times 3 \times 5} = \dfrac{2 \times 3^2}{3 \times 5} = \dfrac{2 \times \not 3 \times 3}{\not 3 \times 5} = \dfrac{2 \times 3}{5} = \dfrac{6}{5}$
3️⃣ On obtient:

$\dfrac{72}{60} = \dfrac{6}{5}$

B : Utilisation du PGCD
1️⃣ Calculer le PGCD de $a$ et $b$, noté $\text{PGCD}(a,b)$
2️⃣ Diviser le numérateur et le dénominateur par ce PGCD
3️⃣ On obtient la fraction irréductible

Pour simplifier $\dfrac{54}{90}$ :
1️⃣ Calcul du PGCD :
$\text{PGCD}(54, 90) = 18$
2️⃣ Division du numérateur et du dénominateur par le PGCD :

$\dfrac{54}{90} = \dfrac{54 \div 18}{90 \div 18} = \dfrac{3}{5}$
3️⃣ On obtient:

$\dfrac{54}{90} = \dfrac{3}{5}$

Simplifie la fraction $\dfrac{42}{63}$.

Simplifie la fraction $\dfrac{120}{450}$.

Simplifie la fraction $\dfrac{64}{80}$.

...

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